Геометрична прогресія (PG)
Що таке геометрична прогресія (PG):
Це числова послідовність, в якій кожен член, з другого, є результатом множення попереднього терміну на константу q, деноміноване як відношення PG.
Приклад геометричної прогресії
Чисельна послідовність (5, 25, 125, 625 ...) є зростаючою PG, де q = 5. Тобто кожен член цього PG, помножений на його співвідношення ( q = 5), призводить до наступного терміну.
Формула для пошуку співвідношення (q) PG
У межах півмісяця PG (2, 6, 18, 54 ...) існує постійна ( q ) постійна, але невідома. Для того, щоб її виявити, необхідно враховувати умови PG, де: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), застосовуючи їх у такій формулі:
q = a 2 / a 1
Таким чином, щоб знайти причину цього PG, формула буде розвиватися наступним чином: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.
Співвідношення ( q ) зазначеного вище PG становить 3.
Оскільки співвідношення ПГ є постійним, тобто загальним для всіх термінів, ми можемо працювати з його формулою з різними термінами, але завжди розділяти його на свого попередника. Нагадуючи, що співвідношення PG може бути будь-яким раціональним числом, виключаючи нуль (0).
Приклад: q = a 4 / a 3, який всередині PG вище також призводить до q = 3.
Формула для пошуку ПГ Загальний термін
Існує основна формула для пошуку будь-якого терміну в PG. У випадку PG (2, 6, 18, 54, a n ...), наприклад, де n, який можна назвати п'ятим або n-м терміном, або 5, поки невідомо. Щоб знайти той чи інший термін, використовується загальна формула:
a n = a m ( q ) нм
Розроблено практичний приклад - Формула загального терміну ПГ
Відомо, що :
a n - будь-який невідомий термін;
a m - перший член PG (або будь-який інший, якщо перший член не існує);
q - відношення PG;
Отже, у PG (2, 6, 18, 54, a n ...), де шукається п'ятий член (a 5 ), формула буде розроблена таким чином:
a n = a m ( q ) нм
при 5 = 1 (q) 5-1
при 5 = 2 (3) 4
при 5 = 2, 81
при 5 = 162
Таким чином, вважається, що п'ятий член (a 5 ) PG (2, 6, 18, 54, a n ...) = 162.
Варто пам'ятати, що важливо з'ясувати причину того, що ПГ знаходить невідомий термін. У випадку вищевказаного PG, наприклад, співвідношення вже було відомо як 3.
Геометричні класифікації прогресії
Півмісяця геометричні прогресії
Для того, щоб PG вважалося зростаючим, його співвідношення завжди буде позитивним, а його терміни зростають, тобто зростають в межах числової послідовності.
Приклад: (1, 4, 16, 64 ...), де q = 4
У висхідному PG з позитивними членами q > 1 і з негативними членами 0 < q <1.
Геометричне зменшення прогресії
Для того, щоб PG вважалося зменшенням, його співвідношення завжди буде позитивним і ненульовим, а його члени зменшуються в межах числової послідовності, тобто зменшуються.
Приклади: (200, 100, 50 ...), де q = 1/2
У зменшується PG з позитивними членами 0 < q <1 і з негативними членами q > 1.
Коливальна геометрична прогресія
Для того, щоб PG вважався коливальним, його співвідношення завжди буде негативним ( q <0), а його терміни чергуються між негативним і позитивним.
Приклад: (-3, 6, -12, 24, ...), де q = -2
Постійна геометрична прогресія
Для того, щоб PG вважався постійним або стаціонарним, його співвідношення завжди буде дорівнює одиниці ( q = 1).
Приклад: (2, 2, 2, 2 ...), де q = 1.
Різниця між арифметичною прогресією і геометричною прогресією
Подібно PG, BP також складається з числової послідовності. Однак терміни PA є результатом суми кожного терміна з відношенням ( r ), в той час як терміни PG, як показано вище, є результатом множення кожного члена на його відношення ( q ) .
Приклад:
У ПА (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) співвідношення ( r ) дорівнює 2. Тобто перший член додає до r 2 результат у наступному терміні і так далі.
У PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) співвідношення ( q ) також 2. Але в цьому випадку член помножується на q 2, що призводить до наступного терміну і так далі.
Див. Також значення арифметичної прогресії.
Практичне значення PG: де його можна застосувати?
Геометрична прогресія дозволяє аналізувати зниження або зростання чогось. З практичної точки зору, ПГ дозволяє проаналізувати, наприклад, теплові коливання, зростання чисельності населення, серед інших типів перевірок, які є в нашому повсякденному житті.
